¿Por tanto o por lo tanto?

Tengo entendido que el significado de por tanto, es sinónimo de por eso;  y que por lo tanto, es un galicismo, porque no decimos por lo eso. ¿Cuál es la expresión correcta?

Ambas son locuciones adverbiales definidas por el Diccionario de la lengua española:

por lo tanto: 1. loc. adv. Por consiguiente, por lo que antes se ha dicho, por el motivo o las razones de que acaba de hablarse. por tanto: 1. loc. adv. Por lo que, en atención a lo cual. U. t. c. loc. conjunt.

Son dos expresiones correctas, de uso muy extendido y arraigado entre los hispanohablantes.