La primera, y no la primer, es la forma adecuada cuando se utiliza el ordinal primero ante nombres femeninos: la primera mujer, la primera casa, la primera vez.
Sin embargo, en los medios de comunicación se encuentran frases en las que no se sigue esta pauta: «Thais Herrera, primer mujer dominicana en llegar a la cima del monte Everest», «Beyoncé ha logrado un nuevo éxito en su carrera al situar su último álbum, “Cowboy Carter”, en el número 1 de la lista de ventas Billboard 200 y convertirse en la primer mujer afroamericana que lidera esta misma lista en la modalidad de música country» o «La velocista es la primer mujer dominicana en alzarse con dos medallas en unas olimpiadas».
Tal como se explica en la Nueva gramática de la lengua española, el adjetivo primero se contrae ante nombres masculinos (el primer día, el primer hijo, el primer hombre), pero ante nombres femeninos se considera preferible la forma no apocopada primera (la primera semana, la primera hija, la primera mujer). El uso de la forma apocopada primer con sustantivos femeninos se considera arcaísmo.
En vista de lo anterior, en los ejemplos citados lo más adecuado habría sido escribir «Thais Herrera, primera mujer dominicana en llegar a la cima del monte Everest», «Beyoncé ha logrado un nuevo éxito en su carrera al situar su último álbum, “Cowboy Carter”, en el número 1 de la lista de ventas Billboard 200 y convertirse en la primera mujer afroamericana que lidera esta misma lista en la modalidad de música country» y «La velocista es la primera mujer dominicana en alzarse con dos medallas en unas olimpiadas».