Fundéu Guzmán Ariza República Dominicana
Es correcto escribir con minúscula la s de síndrome en «Las personas con síndrome de Down».
En español, cuando la denominación de la enfermedad lleva el nombre del investigador que la dio a conocer, el nombre común se escribe en minúscula (síndrome, mal, enfermedad) y solo el nombre o apellido de la persona se escribirá con mayúscula: síndrome de Down, mal de Parkinson, enfermedad de Alzheimer. Tiene más información aquí.